Procent Składany (Odsetki złożone) – Co to jest?

Procent składany (złożony lub odsetki składane) to procent obliczany od kwoty kapitału początkowego, który obejmuje również wszystkie skumulowane odsetki z poprzednich okresów lokat lub kredytów.

Przypuszcza się, że pojęcie to wywodzi się z XVII-wiecznych Włoch i można je traktować jako „odsetki od odsetek”. Procent składany powoduje, że suma rośnie szybciej niż oprocentowanie proste, które jest naliczane tylko od kwoty głównej.

Kluczowe Fakty

• procent składany (lub odsetki składane) to odsetki naliczane od początkowej kwoty kapitału, które obejmują również wszystkie skumulowane odsetki z poprzednich okresów lokaty lub pożyczki.
• procent składany jest obliczany poprzez pomnożenie początkowej kwoty kapitału przez 1 plus roczna stopa procentowa podniesiona do potęgi liczby okresów składanych minus 1.
• Odsetki mogą być naliczane według dowolnego harmonogramu częstotliwości – od ciągłego do dziennego lub rocznego.
• Przy obliczaniu procentu składanego znaczącą różnicę stanowi liczba okresów składania.

Poziom według którego naliczane są odsetki składane zależy od częstotliwości ich składania, w taki sposób, że im wyższa jest liczba okresów składanych, tym kwota odsetek złożonych jest większa. W związku z tym kwota odsetek złożonych naliczonych od 100 zł zsumowanych po 10% rocznie będzie niższa od kwoty 100 zł zsumowanych po 5% półrocznie w tym samym okresie czasu. Z uwagi na fakt, że efekt odsetkowy może generować coraz większe zyski w oparciu o początkową kwotę kapitału, czasami określa się go mianem „cudownego procentu”.

Obliczanie procentu składanego

Procent składany jest obliczany poprzez pomnożenie początkowej kwoty kapitału przez 1 plus roczna stopa procentowa podniesiona do potęgi liczby okresów składanych minus 1. Całkowita kwota początkowa pożyczki jest następnie odejmowana od wartości końcowej.

Wzór na obliczenie procentu składanego jest następujący:

Procent składany = całkowita kwota kapitału plus odsetki w przyszłości (wartość przyszła) pomniejszona o kwotę kapitału obecnie (wartość bieżąca).

                          = [P (1 + i)^n] - P

                          = P [(1 + i)^n - 1]

(gdzie P = kapitał, i = nominalna roczna stopa procentowa oraz n = liczba okresów składanych).

Weźmy trzyletnią pożyczkę w wysokości 10,000 zł przy stopie procentowej 5%, która nalicza się rocznie. Jaka byłaby kwota odsetek? W tym przypadku byłaby to kwota: 10 000 zł [(1 + 0,05)3 – 1] = 10 000 zł [1,157625 – 1] = 1.576,25 zł.

Przyrost odsetek złożonych

W powyższym przykładzie odsetki złożone uwzględniają również odsetki skumulowane w poprzednich okresach, dlatego kwota odsetek nie jest taka sama dla wszystkich trzech lat, jak w przypadku odsetek prostych. Podczas gdy całkowita kwota odsetek płatnych w okresie trzyletnim tej pożyczki wynosi 1 576,25 zł, odsetki płatne na koniec każdego roku przedstawia poniższa tabela.

Okresy składowe (kapitalizacji)

Przy obliczaniu odsetek złożonych, liczba kapitalizowanych okresów ma znaczenie decydujące. Podstawową zasadą jest to, że im wyższa jest liczba okresów składanych (kapitalizacji), tym większa jest wartość odsetek składanych.

Poniższa tabela pokazuje różnicę, jaką może stanowić liczba okresów składanych dla lokaty w wysokości 10 000 zł z roczną stopą procentową 5% w okresie 30 lat.

Kapitalizacja Roczna – 10 tyś zł przy oprocentowaniu 5% na 30 lat

Symulacja inwestycji 10 000 zł w lokatę oprocentowaną na 5% w skali roku. Wykres przedstawia prognozowany zysk z inwestycji po okresie 30 lat z uwzględnieniem zerowego podatku. Obliczenia zakładają, że kapitalizacja jest roczna.

Kapitalizacja Miesięczna – 10 tyś zł przy oprocentowaniu 5% na 30 lat

Symulacja inwestycji 10 000 zł w lokatę oprocentowaną na 5% w skali roku. Wykres przedstawia prognozowany zysk z inwestycji po okresie 30 lat z uwzględnieniem zerowego podatku. Obliczenia zakładają, że kapitalizacja jest miesięczna.

Oprocentowanie złożone może znacząco zwiększyć zwrot z inwestycji w długim okresie czasu. Podczas gdy depozyt w wysokości 10 000 zł, który otrzymuje 5% odsetek prostych, zarobiłby 500 zł odsetek po 30 latach, odsetki złożone kapitalizowane rocznie lub miesięcznie w wysokości 5% od 10 000 zł w tym samym okresie wyniosłyby 33 219 zł lub 34 677 zł.

Obliczanie procentu składanego w programie Excel

Jeżeli minęło już trochę czasu od twoich ostatnich lekcji matematyki – nie obawiaj się. Istnieją poręczne narzędzia, które pomagają w tworzeniu obliczeń. Wiele kalkulatorów (zarówno ręcznych, jak i komputerowych) posiada funkcje wykładnicze, które mogą być wykorzystywane do tych celów. Jeśli pojawią się bardziej skomplikowane zadania tworzenia procentów składanych, można je wykonać za pomocą programu Microsoft Excel – na trzy różne sposoby.

Sposób 1

Pierwszym sposobem obliczania procentu składanego jest pomnożenie każdego nowego salda rocznego przez stopę procentową. Załóżmy, że wpłacisz 1000 zł na konto oszczędnościowe z 5% stopą procentową, która będzie kapitalizowana rocznie. Chcesz obliczyć saldo rachunku w ciągu pięciu lat. W programie Microsoft Excel wpisz „Rok” w komórce A1, a „Saldo” w komórce B1. Wprowadź lata od 0 do 5 w komórkach A2 do A7. Saldo dla roku 0 wynosi 1000 zł, więc wpiszesz „1000” do komórki B2. Następnie wpisz „=B21,05″ w komórce B3. Potem wprowadź „=B31.05” do komórki B4 i kontynuuj to, aż dotrzesz do komórki B7. W komórce B7 formuła wynosi „=B6*1,05”. Ostatecznie wyliczona wartość w komórce B7 to $1,276.28. Jest to saldo na koncie oszczędnościowym po pięciu latach. Aby znaleźć wartość odsetek składanych należy odjąć 1000 zł od kwoty 1 276,28 zł, co daje wartość 276,28 zł.

Sposób 2

Drugim sposobem obliczania odsetek złożonych jest zastosowanie stałej formuły. Wzór na oprocentowanie złożone to ((P(1+i)^n) – P), gdzie „P” jest kapitałem, „i” jest roczną stopą procentową, a „n” jest liczbą okresów kapitalizacji. Korzystając z tych samych informacji podanych powyżej, wpisz „Wartość kapitału” w komórce A1, a 1000 w komórce B1. Dalej wpisz „Stopa procentowa” w komórce A2, a „0.05” w komórce B2. Wprowadź „Okresy” w komórce A3, a „5” w komórce B3. Teraz możesz obliczyć odsetki złożone w komórce B4 wpisując „=(B1(1+B2)^B3)-B1”, co daje Ci 276,28 zł.

Sposób 3

Trzecim sposobem obliczania odsetek złożonych jest stworzenie funkcji makro. Najpierw należy uruchomić Visual Basic Editor, który znajduje się w zakładce dewelopera. Kliknij na menu „Wstaw” i kliknij na „Moduł”. Następnie w pierwszej linii wpisz „Function Compound_Interest(P As Double, i As Double, n As Double) As Double”. W drugiej linii naciśnij przycisk zakładki i wpisz „Compound_Interest = (P*(1+i)^n) – P”. W trzecim wierszu modułu wpisz „End Function”. Stworzyłeś makro funkcji do obliczania stopy procentowej złożonej. Kontynuując od tego samego arkusza Excela co powyżej, wpisz „Odsetki złożone” w komórce A6 i wpisz „=Compound_Interest(B1,B2,B3)”. Daje to wartość 276,28 zł, która jest zgodna z pierwszymi dwiema wartościami.

Wykorzystanie innych kalkulatorów

Jak wspomniałem wyżej, w sieci oferowanych jest wiele bezpłatnych kalkulatorów odsetek złożonych, jak również wiele kalkulatorów kieszonkowych może wykonać takie obliczenia.

Darmowy kalkulator procentów złożonych oferowany przez www.inwestuje.info jest prosty w obsłudze i oferuje możliwość wyboru częstotliwości składkowych od miesięcznego do rocznego. Nie zawiera możliwość wyboru kapitalizacji ciągłej, ale umożliwia wprowadzanie daty rozpoczęcia i zakończenia okresu rozliczeniowego. Po wprowadzeniu niezbędnych danych, wyniki pokazują odsetki zarobione, przyszłą wartość, realną roczną stopę oprocentowania, która jest miarą obejmującą składanie. Ma także możliwość automatycznego obliczania podwyżek inflacji oraz podatków w odniesieniu do miesięcznych wpłat lub wypłat.

Calculla.pl – strona internetowa oferuje bezpłatny kalkulator odsetek złożonych online. Kalkulator jest dość prosty, ale pozwala na wprowadzanie miesięcznych dodatkowych depozytów do zleceniodawcy, co jest pomocne przy obliczaniu zysków, w przypadku których wpłacane są dodatkowe miesięczne oszczędności. Oferuje kapitalizacje dzienną.

Bezpłatny kalkulator oprocentowania online z kilkoma innymi funkcjami jest dostępny również na stronie PrzeliczTo.pl. Kalkulator ten pozwala na obliczanie dla różnych okresów, możliwość uwzględnienia miesięcznych wpłat lub wypłat.

---

Czy wiesz, że już teraz możesz…?

---

Częstotliwość kapitalizacji (składania)

Procent składany może być naliczany na podstawie dowolnego harmonogramu częstotliwości – od dziennego po roczny. W stosunku do instrumentów finansowych stosuje się standardowe częstotliwości kapitalizacji.

Powszechnie stosowanym harmonogramem dla rachunku oszczędnościowego w banku jest rozkład miesięczny. Dla lokat typowe okresy kapitalizacji to okresy miesięczne, półroczne, roczne. Dla rachunków rynku pieniężnego występują czasami okresy dzienne. W przypadku kredytów hipotecznych na cele mieszkaniowe, kredytów dla firm lub kart kredytowych, najczęściej stosowanym harmonogramem jest harmonogram miesięczny. Mogą wystąpić również zmiany w okresie kapitalizacji, w którym narosłe odsetki są faktycznie zaliczane do istniejącego salda. Odsetki na koncie mogą być naliczane codziennie, ale kapitalizowane co miesiąc. Dopiero wtedy, gdy zostaną faktycznie zaksięgowane lub dodane do istniejącego salda rozpoczyna się generowanie procentu składanego.

Niektóre banki na świecie oferują również coś, co nazywa się stale rosnącymi odsetkami. Dzięki temu odsetki dodawane są do kapitału w każdej możliwej chwili. Ze względów praktycznych nie nalicza się ich znacznie ponad dzienne odsetki, chyba że chcesz zainwestować i wypłacić pieniądze tego samego dnia.

Częstsza kapitalizacja odsetek korzystna jest dla inwestora lub wierzyciela. Dla kredytobiorcy jest odwrotnie.

Uwzględnienie wartości pieniądza w czasie

Zrozumienie wartości pieniądza w czasie oraz wykładniczy wzrost spowodowany składaniem ma zasadnicze znaczenie dla inwestorów chcących zoptymalizować swoje dochody i alokację majątku.

Wzór na uzyskanie wartości przyszłej (FV) i wartości bieżącej (PV) jest następujący:

FV = PV (1 +i)^n i PV = FV / (1 + i)^n

Przykładowo, przyszła wartość 10 000 zł powiększana o 5% rocznie przez trzy lata:

= 10 000 (1 + 0.05)^3
= 10 000 (1.157625)
= 11 576.25

Wartość bieżąca 11 576,25 zł dyskontowana o 5% przez trzy lata:

= 11 576.25 / (1 + 0.05)^3
= 11 576.25 / 1.157625
= 10 000

Współczynnik dyskontowy w tym przypadku wynosi 1,157625.

„Reguła 72”

Tak zwana „Reguła 72” oblicza przybliżony czas, w którym inwestycja podwoi się przy danej stopie zwrotu lub odsetkach „i”. Jest ona obliczana według wzoru (72 / i). Może on być stosowany tylko przy składaniu rocznym.

Dla przykładu, inwestycja o rocznej stopie zwrotu na poziomie 6% podwoi się w ciągu 12 lat.

Inwestycja o rocznej stopie zwrotu w wysokości 8 % podwoi się w ciągu dziewięciu lat.

Rzeczywista roczna stopa oprocentowania (RRSO)

Rzeczywista roczna stopa oprocentowania (RRSO) jest wykorzystywana w większości zastosowań finansowych, które wymagają obliczenia jednej stopy oprocentowania dla danego okresu czasu.

Powiedzmy, że Twój portfel inwestycyjny wzrósł z 10 000 zł do 16 000 zł w ciągu pięciu lat. Czym jest RRSO? Zasadniczo odnosi się to do wartości PV = -10,000, FV = 16,000, nt = 5, należy więc obliczyć zmienną „i”. Używając kalkulatora finansowego lub Excela, można wykazać, że i = 9,86%.

Zauważ, że zgodnie z konwencją przepływu środków pieniężnych, Twoja inwestycja początkowa (PV) w kwocie 10,000 zł oznaczona jest znakiem ujemnym, ponieważ reprezentuje odpływ środków. PV i FV muszą mieć przeciwstawne znaki przy obliczaniu „i” w powyższym równaniu.

Rzeczywiste zastosowania dla RRSO

RRSO jest szeroko wykorzystywany do obliczania zwrotów w okresach czasu dla portfeli akcji, funduszy inwestycyjnych i portfeli inwestycyjnych. RRSO służy również do ustalenia czy zarządzający funduszem inwestycyjnym lub zarządzający portfelem przekroczył rynkową stopę zwrotu w danym okresie. Jeżeli na przykład, indeks rynkowy zapewnił całkowity zwrot w wysokości 10% w ciągu pięciu lat, a zarządzający funduszem wygenerował roczny zwrot na poziomie 9% w tym samym okresie, to nie osiągnął on zadowalających wyników.

RRSO może być również wykorzystany do obliczenia oczekiwanej stopy wzrostu portfeli inwestycyjnych w długich okresach czasu. Jest to przydatne w takich sytuacjach jak oszczędzanie na emeryturę. Weźmy pod uwagę następujące przykłady:

Przykład 1: Inwestor unikający ryzyka jest zadowolony ze skromnej rocznej stopy zwrotu z portfela na poziomie 3%. Jego obecny portfel o wartości 100 000 zł wzrósłby zatem po 20 latach do poziomu 180 611 zł. Natomiast inwestor akceptujący ryzyko, który spodziewa się rocznej stopy zwrotu w wysokości 6%, po 20 latach odnotowałby wzrost wartości do 320 714 zł.

Przykład 2: RRSO może być wykorzystany do oszacowania ile trzeba odłożyć, aby zaoszczędzić na konkretnym celu. Para, która chciałaby zaoszczędzić 50 000 zł w ciągu 10 lat na zaliczkę na mieszkanie, musiałaby oszczędzać 4 165 zł rocznie. Przy założeniu rocznego zwrotu (RRSO) w wysokości 4% z oszczędności. Jeśli będą gotowi podjąć trochę dodatkowego ryzyka i liczyć na RRSO na poziomie 5%, będą musieli rocznie oszczędzać 3 975 zł.

Przykład 3: RRSO można również wykorzystać do zademonstrowania zalet wcześniejszego rozpoczęcia inwestycji, a nie późniejszego. Jeśli celem jest zaoszczędzenie 1 miliona zł do momentu przejścia na emeryturę w wieku 65 lat, to w oparciu o RRSO na poziomie 6%, 25-latek musiałby oszczędzać 6 462 zł rocznie, aby osiągnąć ten cel. Z drugiej strony 40-latek musiałby już oszczędzać 18 227 zł, czyli prawie trzy razy więcej, by osiągnąć ten sam cel.

RRSO często również pojawia się w danych finansowych. Oto przykład: Za pożyczkę chwilówkę w wysokości 500 zł wziętą na 30 dni po miesiącu oddać trzeba aż 680 zł. Rzeczywista Roczna Stopa Oprocentowania wynosi tu według wyliczeń 3635%!

Zalety i wady składania procentów

Podczas gdy magia składania procentu doprowadziła do apokryficznej historii Alberta Einsteina, nazywając ją ósmym cudem świata lub największym wynalazkiem człowieka, składanie może również działać przeciwko konsumentom, którzy mają pożyczki o bardzo wysokim oprocentowaniu. Na przykład zadłużenie z tytułu kart kredytowych. Saldo karty kredytowej w wysokości 20 000 zł rozliczane według stopy procentowej 20 % zsumowane miesięcznie dałoby w rezultacie łączne oprocentowanie złożone w wysokości 4 388 zł w ciągu jednego roku lub około 365 zł miesięcznie.

Pozytywną stroną jest to, że magia procentu złożonego może działać na Twoją korzyść, gdy chodzi o Twoje inwestycje i może być silnym czynnikiem w tworzeniu majątku. Wykładniczy wzrost z odsetek złożonych jest również istotny w łagodzeniu czynników obniżających zamożność, takich jak wzrost kosztów utrzymania, inflacja i zmniejszenie siły nabywczej.

Fundusze inwestycyjne oferują jeden z najprostszych sposobów czerpania przez inwestorów korzyści z odsetek złożonych. Decyzja o reinwestowaniu dywidend pochodzących z akcji skutkuje zakupem większej ilości udziałów w spółce. Więcej odsetek złożonych kumuluje się w czasie, a cykl nabywania większej ilości akcji będzie pomagać w inwestowaniu i wzrost wartości.

Rozważmy inwestycję w fundusz z kapitałem własnym w wysokości 5 000 zł i dodatkową roczną dopłatą w wysokości 2 400 zł. Przy średniej rocznej stopie zwrotu na poziomie 12%, na przestrzeni 30 lat, przyszła wartość funduszu wynosi 798 500 zł. Odsetki złożone są różnicą pomiędzy środkami pieniężnymi wniesionymi do inwestycji a jej rzeczywistą przyszłą wartością. W tym przypadku, wnosząc wkład w wysokości 77 000 zł lub łączny kapitał w wysokości zaledwie 200 zł miesięcznie, w ciągu 30 lat odsetki składane mają wartość 721 500 zł przyszłego salda. Oczywiście, zarobki z odsetek złożonych podlegają opodatkowaniu, chyba że pieniądze znajdują się na koncie chronionym. Są one zazwyczaj opodatkowane według standardowej stawki dochodowej.

Inwestycje w oparciu o odsetki złożone

Inwestor, który zdecyduje się na plan reinwestycji w ramach rachunku maklerskiego, zasadniczo korzysta z możliwości łączenia tego co inwestuje. Inwestorzy mogą również doświadczyć kapitalizacji odsetek z tytułu zakupu obligacji zerokuponowych. Tradycyjne emisje obligacji zapewniają inwestorom okresowe płatności odsetek w oparciu o pierwotne warunki emisji obligacji, a ponieważ są one wypłacane inwestorowi w formie przelewu, odsetki nie są składane. Obligacje zerokuponowe nie wysyłają płatności okresowych do inwestorów. Zamiast tego, obligacja tego typu jest nabywana z dyskontem do swojej pierwotnej wartości i rośnie w czasie. Emitenci obligacji zerokuponowych wykorzystują siłę składania, aby zwiększyć wartość obligacji, tak aby osiągnęła pełną cenę w terminie zapadalności.

Składanie może również działać przy spłacie kredytu. Dokonywanie spłaty połowy raty kredytu hipotecznego dwa razy w miesiącu, zamiast dokonywania pełnej spłaty raz w miesiącu zakończy się skróceniem okresu kapitalizacji i zaoszczędzeniem znacznej kwoty odsetek.

Informowanie o rzeczywistych stopach oprocentowania

Ustawa wymaga, aby pożyczkodawcy informowali potencjalnych pożyczkobiorców o warunkach pożyczki, w tym o całkowitej kwocie odsetek, które mają być spłacone przez cały okres trwania kredytu. Również o tym, czy odsetki są naliczane w prosty sposób, czy też są składane.

Kolejną metodą jest porównanie stopy procentowej kredytu z jej rzeczywistą roczną stopą procentową (RRSO), która wg ustawy również musi zostać ujawniona przez kredytodawców. RRSO zamienia opłaty finansowe związane z kredytem, które obejmują wszystkie odsetki i opłaty, na jedną prostą stopę procentową. Duża różnica między stopą procentową kredytu a jej RRSO oznacza jeden lub obydwa scenariusze: Twoja pożyczka korzysta z odsetek złożonych lub obejmuje wysokie prowizje za udzielenie kredytu oprócz samych odsetek.